概率法则与二项分布——计算复杂事件的钥匙

掌握概率的加法和乘法法则，以及二项分布的计算方法，能让我们在面对复杂事件时做出精准的概率判断。

概率的加法与乘法法则：
- 独立事件的乘法法则：两个独立事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。例：两条生产线次品率各为5%和3%，两件产品都是次品的概率为0.05×0.03=0.15%。
- 条件概率：一个事件的发生概率由其他事件决定。一个有两孩的家庭已知至少有一个男孩，则两个都是男孩的概率为1/3（排除"两女"情况）；若已知第一个是男孩，则两男概率变成1/2。
- 三门问题（Monty Hall Dilemma）：参赛者选一扇门后，主持人打开一扇有羊的门。此时改变选择获胜概率为2/3，不改为1/3。关键在于主持人知道门后有什么。
- 互斥事件的加法法则：两个互斥事件至少发生一个的概率为各自概率之和。掷骰子掷出2或4的概率为1/6+1/6=33%。
- 相容事件的加法法则：两个相容事件至少发生一个的概率等于各自概率之和减去同时发生的概率。
- 排除法：事件不会发生的概率为1减去该事件发生的概率。

排列与组合：
- 排列：考虑顺序的选取方式。n个对象的排列方式有n!种。12人围坐有12!≈4.79亿种坐法。
- 组合：不考虑顺序的选取方式。从10人中选3人有120种选法。

二项分布：
二项试验的特征：由n个相同且独立的试验组成，每个试验只有两种结果（成功/失败），成功概率恒定。

以做10道是非题为例，完全瞎猜至少答对5题的概率为62.3%。计算方式为：将答对5、6、7、8、9、10题的概率加起来。

二项分布公式：P(k次成功) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)

实用案例：一艘船配备3个独立发动机，每个正常工作概率98%，至少2个正常工作，则航行845次中只有一次无法正常航行。加装第4个备用发动机后，该概率提升至31726次航行中才出现一次故障。这展示了冗余系统对可靠性的巨大提升。